1.
Pernyataan
Example:
a.
Indonesia adalah anggota ASEAN (B)
b.
SMK Batik berada di Jalan KHA
Dahlan 14 Purworejo.(B)
c.
Ibukota Propinsi Jawa Tengan
adalah Surabaya (S)
d.
Fania adalah anak yang rajin (?)
e.
Bakso rasanya enak(?)
2.
Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah
kalimat yang masih memuat peubah (variabel), sehingga belum dapat ditentukan
nilai kebenarannya. Variabel atau peubah adalah lambang yang digunakan untuk
mewakili sesuatu.
Example:
a.
x + 4 = 8, x ∈ N
Kalimat tersebut dapat menjadi pernyataan yang bernilai
benar jika x diganti dengan 4, namun akan bernilai salah jika x diganti dengan
angka selain 4.
b.
Kota ini adalah ibukota Propinsi
Jawa Tengah.
Kalimat terbuka
tersebut dapat menjadi pernyataan yang benar jika “kota ini” diganti dengan Semarang dan akan menjadi pernyataan
yang salah jika diganti dengan nama kota
selain Semarang.
3.
Ingkaran atau Negasi suatu Pernyataan
Ingkaran atau negasi dapat
juga dikatakan sebagai kebalikan
~ p dibaca ingkaran pernyataan p
|
Dalam mengingkar suatu
pernyataan cukup diimbuhkan kata tidak, tidak benar, atau bukan. Atau
sebaliknya dengan menghilangkannya.
Note:
jika pernyataan
terdapat kata semua, maka ingkarannya adalah ada, beberapa atau sementara.
Ingkaran atau
negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan baru yang memiliki nilai
kebenaran berkebalikan dengan pernyataan awal
p
|
~ p
|
B
|
S
|
S
|
B
|
-
Misal:
a. p : Semua siswa kelas XI berusia 17 tahun.
~p: Ada siswa kelas XI tidak berusia 17
tahun
b. p : 3 + 4 = 7
~p: 3 + 4 ≠ 7
c. p : Ibukota
Provinsi Jawa Tengah adalah Semarang
~p: ibukota Provinsi Jawa Tengah adalah
bukan Semarang
B.
PERNYATAAN MAJEMUK
Pernyataan maejmuk adalah pernyataan yang merupakan
gabungan dari beberapa pernyataan (dua pernyataan atau lebih)
1.
Konjungsi
Konjungsi
adalah pernyataan majemuk dengan penghubung “dan”. Kata hubung logika dan dalam konjungsi juga dapat diganti dengan kata sehingga,
walaupun, ataupun tetapi.
Tabel
kebenaran konjungsi
p
|
q
|
p ^ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
Example:
a.
p :Jakarta
adalah ibukota negara Indonesia (B)
q :Bandung ada di Jawa Tengah (S)
p ^ q :Jakarta
adalah ibukota negara Indonesia dan Bandung ada di Jawa Tengah (S)
b.
p :2 adalah bilangan genap (B)
q :2 adalah bilangan prima (B)
p ^ q :2
adalah bilangan genap dan bilangan prima (B)
2.
Disjungsi
Disjungsi
(∨) adalah suatu pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Tabel
kebenaran disjungsi
p
|
q
|
p ∨ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
Example:
a.
p :
sapi adalah mamalia. (B)
q : hiu bukan termasuk jenis ikan (B)
p∨q : sapi adalah mamalia atau hiu bukan
termasuk ikan (B)
b.
p : 10
adalah bilangan genap. (B)
q : 1 adalah bilangan komposit (S)
p∨q : 10 adalah bilangan genap atau 1
adalah bilangan komposit (B)
3.
Implikasi
-
Implikasi
(⇒) adalah pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung: ”Jika.....
maka....”
-
Tabel
kebenaran implikasi
p
|
q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
Example:
a.
p :
Jakarta adalah ibukota negara Indonesia. (B)
q :
3 + 5 < 2 (S)
p ⇒ q : Jika Jakarta adalah ibukota negara
Indonesia, maka 3 + 8 < 2.(S)
b.
p :
Bangkok adalah ibukota negara
Filipina. (S)
q :
2 < 5 (S)
p ⇒ q : Jika Bangkok adalah ibukota negara Filipina, maka 2 < 5. (B)
4.
Biimplikasi
-
Bimplikasi
(⇔) adalah pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung ”.....jika
dan hanya jika...”
-
Biimplikasi
disebut juga sebagai implikasi bolak-balik.
p ⇔ q berarti “ p jika dan hanya jika q”, yaitu jika p maka q dan jika q maka p
p ⇔ q ≡(p
⇒ q) ∧(
q ⇒ p), dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran
berikut:
p
|
q
|
p ⇔ q
|
p ⇒ q
|
q ⇒ p
|
(p ⇒ q) ∧( q ⇒ p)
|
B
|
B
|
||||
B
|
S
|
||||
S
|
B
|
||||
S
|
S
|
-
Tabel
kebenaran implikasi
p
|
q
|
p ⇔ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Example:
o
p : Jakarta adalah ibukota negara Indonesia.
(B)
q : 3 + 5 <
2 (S)
p ⇔ q :
Jakarta adalah ibukota negara Indonesia jika dan hanya jika 3 + 8 < 2 (S)
o
p :
Bangkok adalah ibukota negara Filipina. (S)
q : 2 < 5 (S)
p ⇔ q :
Bangkok adalah ibukota Filipina jika dan hanya jika maka 2 < 5 (B)
5.
Tabel kebenaran
Tabel
kebenaran digunakan untuk mengetahui nilai kebenaran yang munggkin dari suatu
pernyataan majemuk.
Example: (p ∧ ~q) ⇒ q
p
|
q
|
~q
|
p ∧ ~q
|
(p ∧ ~q) ⇒ q
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
C.
NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK
1.
Negasi Konjungsi
-
Negasi
dari pernyataan majemuk konjungsi adalah
~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q
-
Tabel
kebenaran negasi konjungsi
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p ∧ q
|
~(p
∧ q)
|
~p ∨ ~q
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
Contoh:
o
p
∧ q : 2 adalah bilangan genap dan kucing adalah
hewan karnivora (B)
~(p ∧ q): 2 bukan bilangan genap atau kucing bukan hewan karnivora (S)
≡ ~p ∨ ~q
2.
Negasi disjungsi
-
Negasi
dari pernyataan majemuk disjungsi adalah ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q
-
Tabel
kebenaran negasi disjungsi
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p ∨ q
|
~(p
∨ q)
|
~p ∧ ~q
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
Contoh:
o
p
∨ q : 2 adalah bilangan genap atau kucing adalah
hewan karnivora (B)
~(p ∨ q): 2 bukan bilangan genap dan kucing bukan hewan karnivora (S)
≡ ~p ∧ ~q
3.
Negasi implikasi
-
Negasi
dari pernyataan majemuk implikasi adalah
~(p ⇒ q) = ~(~p ∨ q)
=
~ ~p ∧ ~q
~(p ⇒ q) = p ∧ ~q
-
Tabel
kebenaran negasi implikasi
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p⇒
q
|
~( p⇒
q)
|
p ∧
~q
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
Contoh:
o
p
⇒ q : 2 adalah bilangan genap maka kucing adalah
hewan karnivora (B)
~(p ⇒ q): 2 adalah bilangan genap dan kucing bukan hewan karnivora (S)
≡ p ∧ ~q
4.
Negasi biimplikasi
-
Negasi
dari pernyataan majemuk biimplikasi adalah
~(p ⇔ q) = ~[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
= ~ (p ⇒ q) ∨ ~ (q ⇒ p)
~(p ⇔ q) = (p ∧ ~ q) ∨ (q ∧ ~p)
-
Tabel
kebenaran negasi biimplikasi
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p ⇔ q
|
~(p
⇔ q)
|
p ∧ ~q
|
q ∧ ~p
|
(p ∧~q)∨(q ∧ ~p)
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
Contoh:
o
p
⇔ q : 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika
kucing adalah hewan
karnivora (B)
~(p ⇔ q): 2 adalah
bilangan genap dan kucing bukan hewan karnivora atau
kucing adalah hewan karnivora dan 2 bukan
bilangan genap (S)
≡ (p ∧~q)∨(q ∧ ~p)
D.
TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN
BENTUK EKUIVALEN PERNYATAAN MAJEMUK
1.
Tautologi
Tautologi adalah pernyataan majemuk
yang nila kebenarannya selalu benar.
- Tautologi adalah pernyataan majemuk
yang selalu bernilai benar.
- Tautologi yang memuat implikasi
dinamakan implikasi logis.
Contoh: [(p ⇒
q) ∧ p] ⇒ q
p
|
q
|
p ⇒ q
|
(p ⇒ q) ∧ p
|
[(p
⇒ q) ∧ p] ⇒ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
2.
Kontradiksi
- Kontradiksi adalah pernyataan majemuk
yang selalu bernilai salah.
Contoh:
1.
~(p
∨ q) ∧ p
p
|
q
|
p ∨ q
|
~(p ∨ q)
|
~(p
∨ q) ∧ p
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
2.
~p
∨ q
p
|
q
|
~p
|
~p ∨ q
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
|
3. Ekuivalen
Dua pernyataan majemuk dikatakan
ekuivalen jika mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Contoh: p ⇒ q dengan ~p ∨ q
p
|
q
|
~p
|
~p ∨ q
|
p ⇒ q
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
Jadi p ⇒ q ≡ ~p ∨ q
E.
KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Dari suatu implikasi p ⇒ q dapat dibentuk implikasi lain, yaitu:
o q ⇒ p adalah konvers dari p ⇒ q
o ~p ⇒ ~q adalah invers dari p ⇒ q
o ~q ⇒ p adalah kontraposisi dari p ⇒ q
Example:
Jika
2 adalah bilangan prima, maka 3 adalah bilangan komposit.
o Konvers : Jika 3 adalah bilangan komposit, maka 2 adalah bilangan
prima.
o Invers : Jika 2 bukan bilangan prima, maka 3
bukan bilangan
komposit
o Kontraposisi : Jika 3 bukan bilangan komposit, maka 2 bukan bilangan prima
-
Hubungan
antara implikasi-implikasi tersebut
dapat ditunjukkan pada tabel:
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p ⇒ q
|
q ⇒ p
|
~p ⇒ ~q
|
~q ⇒ ~p
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
F.
PENARIKAN KESIMPULAN
Silogisme, modus pones, dan modus
tollens adalah metode dalam penarikan kesimpulan.
Untuk membuktikan apakah penarikan kesimpulan
sah atau tidak dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran yaitu berupa tautologi.
Contoh:
1. Silogisme
p1 :
p ⇒ q
p2 : q ⇒ r
∴ p ⇒ r
Tabel
kebenaran
p
|
q
|
r
|
p ⇒ q
|
q ⇒ r
|
p ⇒ r
|
(p ⇒ q)∧( q ⇒ r)
|
[(p ⇒ q)∧( q ⇒ r)]⇒(p ⇒ r)
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Contoh:
p1:
Jika Dina rajin belajar, maka akan mendapat nilai baik.
p2: Jika dina mendapat nilai yang baik, maka
ia mendapat hadiah dari Ibu.
∴ Jika Dina rajin belajar, maka akan mendapat hadiah dari Ibu
2. Modus Ponens
p1 :
p ⇒ q
p2 : p
∴ q
Tabel kebenaran
p
|
q
|
p ⇒ q
|
(p ⇒ q) ∧ p
|
[(p ⇒ q) ∧ p]⇒q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
Contoh:
p1 : Jika hujan turun, maka Jakarta banjir
|
p2 : Hujan turun
|
∴ Jakarta banjir
|
3. Modus Tolens
p1 :
p ⇒ q
p2 : ~ q
∴ ~ p
p
|
q
|
~ p
|
~ q
|
p ⇒ q
|
(p ⇒ q) ∧ ~q
|
[(p ⇒ q) ∧ ~q]⇒ ~ p
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
p1 :
Jika harga BBM naik, maka harga sembako ikut naik
|
p2 :
Harga sembako tidak naik
|
∴ Harga
BBM tidak naik
|
Tidak ada komentar:
Posting Komentar