Minggu, 22 Maret 2015

Cara Menghafal Nilai Kebenaran pada Pernyataan Majemuk Logika Matematika

 untuk melanjutkan postingan lalu tentang logika matematika, berikut saya ketengahkan tentang cara menghafal nilai kebenaran pada pernyataan majemuk....

  1. Konjungsi  : BENAR jika keduanya benar
  2. Disjungsi    : SALAH jika keduanya salah
  3. Implikasi    : BENAR jika kembar dan mengikuti yang belakang jika tidak kembar
  4. Biimplikasi : BENAR jika kembar
 Demikian,,,,, semoga bermanfaat....

Kamis, 05 Maret 2015

LOGIKA MATEMATIKA


A.    PERNYATAAN, KALIMAT TERBUKA, DAN INGKARANNYA
       1.      Pernyataan

Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempuynyai nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
Example:
a.       Indonesia adalah anggota ASEAN (B)
b.      SMK Batik berada di Jalan KHA Dahlan 14 Purworejo.(B)
c.       Ibukota Propinsi Jawa Tengan adalah Surabaya (S)
d.      Fania adalah anak yang rajin (?)
e.       Bakso rasanya enak(?)
       2.      Kalimat terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih memuat peubah (variabel), sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Variabel atau peubah adalah lambang yang digunakan untuk mewakili sesuatu.
Example:
a.       x + 4 = 8, x N
Kalimat tersebut dapat menjadi pernyataan yang bernilai benar jika x diganti dengan 4, namun akan bernilai salah jika x diganti dengan angka selain 4.
b.      Kota ini adalah ibukota Propinsi Jawa Tengah.
Kalimat terbuka tersebut dapat menjadi pernyataan yang benar jika “kota ini” diganti dengan Semarang dan akan menjadi pernyataan yang salah jika diganti dengan nama kota selain Semarang.
     3.      Ingkaran atau Negasi suatu Pernyataan
Ingkaran atau negasi dapat juga dikatakan sebagai kebalikan
~ p dibaca ingkaran pernyataan p
Dalam mengingkar suatu pernyataan cukup diimbuhkan kata  tidak, tidak benar, atau bukan. Atau sebaliknya dengan menghilangkannya.
Note:
jika pernyataan terdapat kata  semua, maka ingkarannya adalah ada, beberapa atau sementara.
Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan baru yang memiliki nilai kebenaran berkebalikan dengan pernyataan awal
p
~ p
B
S
S
B


-     Misal:
a.       p  : Semua siswa kelas XI berusia 17 tahun.
                        ~p: Ada siswa kelas XI tidak berusia 17 tahun
b.      p : 3 + 4 = 7
                        ~p: 3 + 4 ≠ 7
c.       p : Ibukota Provinsi Jawa Tengah adalah Semarang
                        ~p: ibukota Provinsi Jawa Tengah adalah bukan Semarang

B.     PERNYATAAN MAJEMUK
Pernyataan maejmuk adalah pernyataan yang merupakan gabungan dari beberapa pernyataan (dua pernyataan atau lebih)
     1.      Konjungsi
Konjungsi  adalah pernyataan majemuk dengan penghubung “dan”. Kata hubung logika dan dalam konjungsi juga dapat diganti dengan kata sehingga, walaupun, ataupun tetapi.

Tabel kebenaran konjungsi
p
q
p ^ q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Example:
a.       p           :Jakarta adalah ibukota negara Indonesia (B)
q           :Bandung ada di Jawa Tengah (S)
p ^ q     :Jakarta adalah ibukota negara Indonesia dan Bandung ada di Jawa Tengah (S)
b.      p        :2 adalah bilangan genap (B)
q        :2 adalah bilangan prima (B)
p ^ q  :2 adalah bilangan genap dan bilangan prima (B)
      2.      Disjungsi
Disjungsi () adalah suatu pernyataan majemuk dengan kata hubung “atau”. Tabel kebenaran disjungsi
p
q
p q
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S
Example:
a.     p          : sapi adalah mamalia. (B)
q          : hiu bukan termasuk jenis ikan (B)
pq     : sapi adalah mamalia atau hiu bukan termasuk ikan (B)
b.    p          : 10 adalah bilangan genap. (B)
q          : 1 adalah bilangan komposit (S)
pq     : 10 adalah bilangan genap atau 1 adalah bilangan komposit (B)
      3.      Implikasi
-        Implikasi () adalah pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung:   Jika..... maka....”
-        Tabel kebenaran implikasi
p
q
p q
B
B
B
B
S
S
S
B
B
S
S
B
Example:
a.       p         : Jakarta adalah ibukota negara Indonesia. (B)
     q           : 3 + 5 < 2 (S)
   p q : Jika Jakarta adalah ibukota negara Indonesia, maka 3 + 8 < 2.(S)
b.      p         : Bangkok adalah ibukota negara Filipina. (S)
      q          : 2 < 5 (S)
  p q : Jika Bangkok adalah ibukota negara Filipina, maka 2 < 5. (B)
4.      Biimplikasi
-          Bimplikasi () adalah pernyataan majemuk dengan menggunakan kata hubung        .....jika dan hanya jika...”
-          Biimplikasi disebut juga sebagai implikasi bolak-balik. p q berarti “ p jika dan hanya jika q”, yaitu jika p maka q  dan jika q maka p
      p q (p q) ( q p), dapat ditunjukkan dengan tabel kebenaran berikut:
p
q
p q
p q
q p
(p q) ( q p)
B
B




B
S




S
B




S
S




-          Tabel kebenaran implikasi
p
q
p q
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B
Example:
o   p : Jakarta adalah ibukota negara Indonesia. (B)
q : 3 + 5 < 2 (S)
p q         : Jakarta adalah ibukota negara Indonesia jika dan hanya jika 3 + 8 < 2 (S)
o   p    : Bangkok adalah ibukota negara Filipina. (S)
q    : 2 < 5 (S)
p q         : Bangkok adalah ibukota Filipina jika dan hanya jika maka 2 < 5 (B)
5.      Tabel kebenaran
Tabel kebenaran digunakan untuk mengetahui nilai kebenaran yang munggkin dari suatu pernyataan majemuk.
Example: (p ~q) q
                                                         
p
q
~q
p ~q
(p ~q) q
B
B
S
S
B
B
S
B
B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
S
B
                                     
                              
C.    NEGASI PERNYATAAN MAJEMUK
1.      Negasi Konjungsi
-     Negasi dari pernyataan majemuk konjungsi adalah  ~(p q) ~p ~q
-     Tabel kebenaran negasi konjungsi
p
q
~p
~q
p q
~(p q)
~p ~q
B
B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
S
B
B
Contoh:
o   p q   : 2 adalah bilangan genap dan kucing adalah hewan karnivora (B)
~(p q): 2 bukan bilangan genap atau kucing bukan hewan karnivora (S)
              ~p ~q
2.      Negasi disjungsi
-     Negasi dari pernyataan majemuk disjungsi adalah ~(p q) ~p ~q
-     Tabel kebenaran negasi disjungsi
p
q
~p
~q
p q
~(p q)
~p ~q
B
B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
B
B
Contoh:
o   p q   : 2 adalah bilangan genap atau kucing adalah hewan karnivora (B)
~(p q): 2 bukan bilangan genap dan kucing bukan hewan karnivora (S)
              ~p ~q
3.      Negasi implikasi
-     Negasi dari pernyataan majemuk implikasi adalah
  ~(p q) = ~(~p q)
                  = ~ ~p ~q
  ~(p q) =  p ~q
-     Tabel kebenaran negasi implikasi
p
q
~p
~q
p⇒ q
~( p⇒ q)
p ∧ ~q
B
B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
B
S
S
S
S
B
B
B
S
S
Contoh:
o   p q   : 2 adalah bilangan genap maka kucing adalah hewan karnivora (B)
~(p q): 2 adalah bilangan genap dan kucing bukan hewan karnivora (S)
              p ~q
4.      Negasi biimplikasi
-     Negasi dari pernyataan majemuk biimplikasi adalah
~(p q)    = ~[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
                  = ~ (p q) ~ (q p)
~(p q)   = (p ~ q) (q ~p)
-     Tabel kebenaran negasi biimplikasi
p
q
~p
~q
p q
~(p q)
p ∧ ~q
q ~p
(p ∧~q)(q ~p)
B
B
S
S
B
S
S
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
S
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
B
S
S
S
S
Contoh:
o   p q   : 2 adalah bilangan genap jika dan hanya jika kucing adalah hewan
                karnivora (B)
~(p q): 2 adalah bilangan genap dan kucing bukan hewan karnivora atau
                kucing adalah hewan karnivora dan 2 bukan bilangan genap (S)
              ≡ (p ∧~q)(q ~p)
D.    TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN BENTUK EKUIVALEN PERNYATAAN MAJEMUK
1.      Tautologi
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang nila kebenarannya selalu benar.
-     Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar.
-     Tautologi yang memuat implikasi dinamakan implikasi logis.
Contoh: [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q
p
q
p ⇒ q
(p ⇒ q) ∧ p
[(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
B
B
S
S
B
S
B
Up Arrow Callout:       taotologi

2.      Kontradiksi
-     Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah.
Contoh:
1.      ~(p q) p
p
q
p q
~(p q)
~(p q) p
B
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
B
B
S
S
S
S
S
B
S
Up Arrow Callout:  kontradiksi   
2.      ~p q
p
q
~p
~p q
B
B
S
B
B
S
S
S
S
B
B
B
S
S
B
B
bukan tautologi dan bukan kontradiksi

 


3.      Ekuivalen
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Contoh: p q dengan ~p q
p
q
~p
~p q
p q
B
B
S
B
B
B
S
S
S
S
S
B
B
B
B
S
S
B
B
B
Jadi p q ~p q
E.     KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Dari suatu implikasi p q dapat dibentuk implikasi lain, yaitu:
o  q p adalah konvers dari p q
o  ~p ~q adalah invers dari p q
o  ~q p adalah kontraposisi dari p q
Example:
Jika 2 adalah bilangan prima, maka 3 adalah bilangan komposit.
o  Konvers     : Jika 3 adalah bilangan komposit, maka 2 adalah bilangan
                   prima.
o  Invers                    : Jika 2 bukan bilangan prima, maka 3 bukan bilangan
                   komposit
o  Kontraposisi          : Jika 3 bukan bilangan komposit, maka 2 bukan bilangan prima
-          Hubungan antara implikasi-implikasi  tersebut dapat ditunjukkan pada tabel:
p
q
~p
~q
p q
q p
~p ~q
~q ~p
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
F.     PENARIKAN KESIMPULAN
Silogisme, modus pones, dan modus tollens adalah metode dalam penarikan kesimpulan.
Untuk membuktikan apakah penarikan kesimpulan sah atau tidak dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran yaitu berupa tautologi.
Contoh:
1.      Silogisme
p1 : p q
p2  : q r
     p r
Tabel kebenaran
p
q
r
p q
q r
p ⇒ r
(p q)( q r)
[(p q)( q r)](p r)
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
S
S
B
B
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
S
S
B
S
B
B
B
B
B
B
B
S
B
S
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
B
B
B
B

Contoh:
p1: Jika Dina rajin belajar, maka akan mendapat nilai baik.
p2: Jika dina mendapat nilai yang baik, maka ia mendapat hadiah dari Ibu.
Jika Dina rajin belajar, maka akan mendapat hadiah dari Ibu
2.      Modus Ponens
      p1 : p q
      p2  : p       
         q
Tabel kebenaran
p
q
p q
(p q) p
[(p q) p]q
B
B
B
B
B
B
S
S
S
B
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
Contoh:
p1  : Jika hujan turun, maka Jakarta banjir
p2  : Hujan turun
     Jakarta banjir
3.      Modus Tolens
      p1 : p q
      p2  : ~ q    
           ~ p
p
q
~ p
~ q
p q
(p q) ~q
[(p q) ~q] ~ p
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
S
B
S
S
B
B
B
B
B

p1  : Jika harga BBM naik, maka harga sembako ikut naik
p2  : Harga sembako tidak naik
      Harga BBM tidak naik